【おもしろ数学】lim(n→∞)√n!/n

面白い問題集

はじめに

今日はとにかく美しい問題です。オイラーの公式よりも美しいんじゃないか?と思うくらい(笑)

高校生は極限の問題をたくさん解いていると思いますが、こんな問題は見たことがありますか?気晴らしにでもぜひ解いてみてください。たとえ分からなくても答えを予想してみてください!

問題

\[\lim_{n\to \infty}\frac{^{n}\sqrt{n!}}{n}\]

の値を求めよ。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解説

どうですか、美しいでしょ。(美しいと思った人、変態と思われますよ‥)

んじゃ解説していきます。まずは一番めんどくさいのは\(n\)乗根ですよね。これをどうするのか。\(n\)乗根って\(1/n\)乗と同値ですよね。だから与式は

\[\lim_{n\to \infty}\frac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}\]

と変形できます。そして指数を簡単にする方法、logを取るのです!すると次のように変形できます。

\begin{align}
\log\frac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n} &= \log \left(\frac{n!}{n^n}\right)^\frac{1}{n} \\
&= \frac{1}{n}\log \left(\frac{n!}{n^n}\right) \\
&= \frac{1}{n}(\log \left(\frac{1}{n}\right) + \log \left(\frac{2}{n}\right) + \cdots + \log \left(\frac{n}{n}\right)) \\
&= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\log \left(\frac{i}{n}\right)
\end{align}

となります。この形、ピンとくる人もいるんじゃないですかね??そう、区分求積法です!!!

ではさらに変形します。

\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\log \left(\frac{i}{n}\right) &= \int_0^1 \log(x)dx
\end{align}

最後の山場です。一般的に\(\log\)に0を代入することはできないので少し工夫する必要があります。いったん0を\(k\)とおいて変形してみましょう。

\begin{align}
\int_0^k \log(x)dx &= \int_0^k 1 \times \log(x)dx \\
&= [x\log x]_k^1 \ – \int_k^1 (x \times 1/x)dx \\
&= 0 \ – k\log k \ – \int_k^1 1dx \\
&= 0 \ – k\log k \ – 1 + k
\end{align}

ここで\(k\)を0に近づけると\(k\log k\)は0になるので答えは\(-1\)となります!

しかしこれは\(\log\)をとった場合の答え。問いに対する答えは

\begin{align}
\log (\lim_{n\to \infty}\frac{^{n}\sqrt{n!}}{n}) &= -1 \\
\lim_{n\to \infty}\frac{^{n}\sqrt{n!}}{n} &= \frac{1}{e}
\end{align}

となるのです!!これが答えです。

おわりに

まさかの\(e\)が出てきましたね~。こんな自然対数と関係がなさそうな問題なのになぜ結びつくのでしょうか。不思議でたまりません。

なんか噂によるとこの方法は厳密ではないとかどうとか。\(\log\)の中に\(\lim\)を入れているのが良くないんかな~?ま、たぶん答えあっているのでキニシナイ。

ではまた次回~!

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